Séminaire de géométrie et topologie :
Techniques transcendantes et géométrie de Kähler
Heures de cours : Lundi, 09h-12h, PK-5675
Consultations : en prenant un rendez-vous par courriel
Prérequis : cours de géométrie différentielle des variétés et cours d'analyse complexe
Description du cours :
Ce cours a un double objectif. Dans un premier temps, nous introduirons les notions classiques de la géométrie complexe. Nous couvrirons les sujets suivants : notions base de plusieurs variables complexes, variétés lisses et complexes, fibrés vectoriels holomorphes, métriques hermitiennes, connexion, courbure, théorie de Hodge, et cohomologie des faisceaux. Dans la deuxième partie, nous discuterons de la preuve de Yau de la conjecture de Calabi, qui est communément appelée le théorème de Calabi-Yau. Ce théorème a plusieurs applications importantes dans les domaines de la géométrie différentielle/algébrique complexe et a ouvert la porte à de nombreuses directions de recherche modernes.Course description :
The purpose of this graduate course is two-fold. In the first part of the course, we will introduce classical objects of complex geometry. We will cover the following topics: basic notions of several complex variables, smooth and complex manifolds, holomorphic vector bundles, Hermitian metrics, connection, curvatures, Hodge theory, and sheaf cohomology. In the second part, we will discuss Yau's proof of the Calabi conjecture, which is commonly referred as Calabi-Yau theorem. This theorem has several important applications in the fields of complex differentail/algebraic geometry, and has opened the door to many modern research directions.Devoirs : Devoir 1 fr, Devoir 1 en, Devoir 2 fr, Devoir 2 en
Références :
- J.-P. Demailly, Complex analytic and differential geometry, livre disponible en ligne.
- P. Gauduchon, Calabi’s extremal Kähler metrics: An elementary introduction, livre disponible en ligne.
- D. Huybrechts, Complex Geometry: An Introduction, Springer-Verlag, Berlin, 2005.
- K. Kodaira & J. Morrow, Complex Manifolds, AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2006.
- A. Moroianu, Lectures on Kähler Geometry, Cambridge University Press, Cambridge, 2007.
- D. Popovici, Non-Kähler Hodge Theory and Deformations of Complex Structures, livre disponible en ligne.
- G. Székelyhidi, An introduction to extremal Kähler metrics, American Mathematical Society, Providence, RI, 2014.
- C. Voisin, Théorie de Hodge et géométrie algébrique complexe, Société Mathématique de France, Paris, 2002.
Programme du cours
- 08/09 : Rappels sur analyse complexe en dim = 1, Fonctions holomorphes de plusieurs variables, Théorème de prolongement de Hartogs, Théorème de préparation de Weierstrass (TPW)
- 15/09 : Certaines applications de TPW, Nullstellensatz faible, Rappels sur géométrie différentielle (variétés, fibrés vectoriels, formes différentielles), Structures presque complexes
- 22/09 : Pas de cours
- 29/09 : Structures presque complexes (suite), Décompositions de $T M \otimes {\mathbb{C}}$ et $\Lambda^1 M \otimes {\mathbb{C}}$, Intégrabilité des structures presque complexes, Cohomologie de Dolbeault, Lemme de Poincaré pour l’opérateur $\bar{\partial}$
- 06/10 : Lemme de Poincaré pour l’opérateur $\bar{\partial}$ (suite), Métriques hermitiennes et kählériennes, L'étoile de Hodge, Les opérateurs $d^\ast$, $\partial^\ast$, $\bar{\partial}^\ast$
- 13/10 : Pas de cours (l'Action de grâce)
- 20/10 : Théorème de Hodge, Dualité de Serre, Les opérateurs $L$ et $\Lambda$, Identités kähleriennes et leur applications, Lemme du $\partial \bar{\partial}$, Rappels sur connexions
- 27/10 : Rappels sur connexions (suite), Connexions de Chern, Courbure, Courbure de Ricci, ...
Sujets (présentation finale + rapport) :
- Pascal GUIFFO KAMWA : Déformation de la structure complexe et l'équation de Maurer-Cartan
- David KEREN YAAR :
- Adji MADJOU : Théorèmes de Lefschetz
- Meriem NABIL : Réduction hyperkählérienne
- Andrew Sébastien SAINT-PIERRE GILMOUR : Théorème de plongement de Kodaira
- Yijun YIN : Le flot de Kähler-Ricci
- Boris ZUPANCIC :